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设k为奇数,求证：方程x2+2x-2k=0没有有理根
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设k为奇数,求证：方程x2+2x-2k=0没有有理根
▼优质解答
答案和解析
△=4+8k=4(1+2k)
当k是奇数时,设k=2n+1,n是整数
那么△=4(1+4n+2)=4(4n+3)
4n+3是一个奇数,如果它是完全平方数,那么可以表示成(2m+1)^2,m是整数
也就是4m^2+4m+1,即除以4的余数是1
但是4n+3除以4的余数是3,
所以4n+3不是完全平方数,它的平方根就不是有理数
所以由求根公式可知,原方程没有有理根
当k是奇数时,设k=2n+1,n是整数
那么△=4(1+4n+2)=4(4n+3)
4n+3是一个奇数,如果它是完全平方数,那么可以表示成(2m+1)^2,m是整数
也就是4m^2+4m+1,即除以4的余数是1
但是4n+3除以4的余数是3,
所以4n+3不是完全平方数,它的平方根就不是有理数
所以由求根公式可知,原方程没有有理根
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