已知关于x的一元二次方程x2+cx+a=0的两个整数根恰好比方程x2+ax+b的两个根都大一,求a+b+c的值

Question

已知关于x的一元二次方程x2+cx+a=0的两个整数根恰好比方程x2+ax+b的两个根都大一,求a+b+c的值

Answer 1

设方程x2+ax+b=0的两个根为α,β,
∵方程有整数根,
设其中α,β为整数,且α≤β,
则方程x2+cx+a=0的两根为α+1,β+1,
∴α+β=-a,（α+1）（β+1）=a,
两式相加,得αβ+2α+2β+1=0,
即（α+2）（β+2）=3,
∴α+2=1 β+2=3或α+2=-3 β+2=-1.
解得α=-1 β=1或α=-5 β=-3.
又∵a=-（α+β）=-[（-1）+1]=0,b=αβ=-1×1=-1,c=-[（α+1）+（β+1）]=-[（-1+1）+（1+1）]=-2,
或a=-（α+β）=-[（-5）+（-3）]=8,b=αβ=（-5）×（-3）=15,c=-[（α+1）+（β+1）]=-[（-5+1）+（-3+1）]=6,
∴a=0,b=-1,c=-2；或者a=8,b=15,c=6,
∴a+b+c=0+（-1）+（-2）=-3或a+b+c=8+15+6=29,
故a+b+c=-3,或29.