已知关于x的一元二次方程x2+cx+a=0 的两个整数根恰好比方程x2+ax+b=0 的两个根都大1,求a+b+c 的值

Question

已知关于x的一元二次方程x2+cx+a=0 的两个整数根恰好比方程x2+ax+b=0 的两个根都大1,求a+b+c 的值

Answer 1

设方程x2+ax+b=0 的两个根是x1,x2 x1+x2=-a x1x2=b
方程x2+cx+a=0 的两个是x1+1,x2+1 x1+1+x2+1=-c x1x2+x1+x2+1=a
-a+2=-c b-a+1=a
a-c=2 b-2a=-1
二次方程x2+cx+a=0 的两个根为整数
所以△=c²-4a是个正数的平方
△=c²-4a=(a-4)²-12
满足条件的只有(a-4)²-12=4时成立
这时a=0或者a=8
当a=0时,b=-1,c=-2
这时x2+cx+a=0 的两个整数根为2和0
x2+ax+b=0 的两个整数根为1和1
不合题意
当a=8时,b=15,c=11
这时x2+cx+a=0 的两个整数根为-2和-4
x2+ax+b=0 的两个整数根为-3和-5
符合题意
a+b+c=8+15+6=29
所以a+b+c 的值 29