已知关于x的一元二次方程ax^2+bx+c=0(a≠0)的两根之比为2:1 求证：2b^2=9ac

Question

已知关于x的一元二次方程ax^2+bx+c=0(a≠0)的两根之比为2:1 求证：2b^2=9ac

Answer 1

设方程的两个根分别为α、β,
由一元二次方程根与系数的关系,得
α+β=-b/a α*β=c/a
∵一元二次方程ax^2+bx+c=0(a≠0)的两根之比为2:1
我们不妨设α/β=1/2,则β=2α
∴3α=-b/a,2α＾2=c/a
消去α,得
2（-b/3a）＾2=c/a
整理,得2b^2=9ac