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k,a,b为正整数,k被a²、b²整除所得的商分别为m,m+116(1)若a,b互质,证明a²-b²与a²,b²都互质;(2)当a,b互质时,求k的值;(3)若a,bd的最大公约数为5,求k的值.
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k,a,b为正整数,k被a²、b²整除所得的商分别为m,m+116
(1)若a,b互质,证明a²-b²与a²,b²都互质;
(2)当a,b互质时,求k的值;
(3)若a,bd的最大公约数为5,求k的值.
(1)若a,b互质,证明a²-b²与a²,b²都互质;
(2)当a,b互质时,求k的值;
(3)若a,bd的最大公约数为5,求k的值.
▼优质解答
答案和解析
(1)设s为a2-b2与a2的最大公约数,
则a2-b2=su,a2=sv,u,v是正整数,
∴a2-(a2-b2)=b2=s(v-u),可见s是b2的约数,
∵a,b互质,
∴a2,b2互质,可见s=1.
即a2-b2与a2互质,同理可证a2-b2与b2互质;
(2)由题知:ma2=(m+116)b2,
m(a2-b2)=116b2,
∴(a2-b2)|116b2,
∵(a2-b2,b2)=(a2,b2)=1,
∵(a2-b2)|116,
所以a2-b2是116的约数,116=2×2×29,
a2-b2=(a-b)(a+b),
而a-b和a+b同奇偶性,且a,b互质,
∴a2-b2要么是4的倍数,要么是一个大于3的奇数,
∴(a-b)(a+b)=29 或(a-b)(a+b)=116,
∴a-b=1,a+b=29或a-b=1,a+b=116或a-b=2,a+b=58或a-b=4,a+b=29,
解得只有一组解符合条件,
a=15,b=14,
∴m(152-142)=116×142,
∴m=4×142=784,
∴k=784×152=176400;
(3)设a=5x,b=5y,(x,y)=1,
则m(a2-b2)=116b2,
∴即m(25x2-25y2)=116(25y)2,
∴m(x2-y2)=116(y)2,
∵x,y互质,则有:m=24×72,
∴x=15,y=14,
a=75,b=70,m=784,
k=784×752=4410000
则a2-b2=su,a2=sv,u,v是正整数,
∴a2-(a2-b2)=b2=s(v-u),可见s是b2的约数,
∵a,b互质,
∴a2,b2互质,可见s=1.
即a2-b2与a2互质,同理可证a2-b2与b2互质;
(2)由题知:ma2=(m+116)b2,
m(a2-b2)=116b2,
∴(a2-b2)|116b2,
∵(a2-b2,b2)=(a2,b2)=1,
∵(a2-b2)|116,
所以a2-b2是116的约数,116=2×2×29,
a2-b2=(a-b)(a+b),
而a-b和a+b同奇偶性,且a,b互质,
∴a2-b2要么是4的倍数,要么是一个大于3的奇数,
∴(a-b)(a+b)=29 或(a-b)(a+b)=116,
∴a-b=1,a+b=29或a-b=1,a+b=116或a-b=2,a+b=58或a-b=4,a+b=29,
解得只有一组解符合条件,
a=15,b=14,
∴m(152-142)=116×142,
∴m=4×142=784,
∴k=784×152=176400;
(3)设a=5x,b=5y,(x,y)=1,
则m(a2-b2)=116b2,
∴即m(25x2-25y2)=116(25y)2,
∴m(x2-y2)=116(y)2,
∵x,y互质,则有:m=24×72,
∴x=15,y=14,
a=75,b=70,m=784,
k=784×752=4410000
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