如果两个等腰三角形的周长和面积都分别相等,那么这两个三角形一定全等么?

Question

如果两个等腰三角形的周长和面积都分别相等,那么这两个三角形一定全等么?

Answer 1

不一定全等：
等腰三角形设其底高为x,底半长为y,则
其面积为S=x*y （1）
其半周长为L=x+(x^2+y^2)^(1/2) （2） （就是平方根,实在没法打数学符号,抱歉）
若S与L固定,得关于x与y的二元二次方程组,由（1）得
y=S/x 带入（2）：x+[x^2+(S/x)^2]^(1/2)=L
化简得：2L*x^3-L^2*x^2+S^2=0
此为3次方程,在复数范围有三个解.由于3次、2次项为负,1次项为0,常数项为负,使其实数解可能为：
两正一负,唯一实解两种情况,视L和S决定.
当为第一种情况时,就会出现不全等情况.如：
三角形周长为16,面积为12,有以下两种三角形满足：
（1）底为6,高为4；
（2）底为[1+13^(1/2)],高为2*[13^(1/2)-1].
此两三角形满足题设但显然不全等.