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如图,在三角形ABC中,点O是AC边上的一个动点,过点O作直线MN平行于BC,设MN交∠BCA的角平分线于点E,交∠BCA的外角平分线于F .问 当点O运动到何处时,四边形AECF是矩形?证明你的结论 .不好意思 图传

题目详情
如图,在三角形ABC中,点O是AC边上的一个动点,过点O作直线MN平行于BC,设MN交∠BCA的角平分线于点E,交∠BCA的外角平分线于F .
问 当点O运动到何处时,四边形AECF是矩形?证明你的结论 .
不好意思 图传不了 .
▼优质解答
答案和解析
如果四边形AECF是矩形,那么O肯定是AC的中点,很简单,因为O是矩形的两条斜边的交点.
所以可以给出假设:当O为AC的中点时,该结论成立:
证明过程(电脑书写不便,以文字叙述为主):
(思路----考虑到角平分线的性质,即平分角,所以标出题目中与证明有关重要的相等的角)
角ACE等于角BCE,由于MN平行BC,所以又有角BCE等于角FEC;
联系上面两个角相等关系,有ACE=FEC;
所以三角形COE为等腰三角形,所以EO=OC;
同理可得,FO=OC;
所以EO=0C=OF;
联系前面的假设,O为AC的中点,所以有EO=0F=0C=OA,所以四边形AECF是矩形;
故假设成立,结论得证.