两道关于圆的暴难题!强者进!1、设圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段弧,其弧长之比为3：1；③圆心到直线l：x-2y=0的距离为√5/5,求该圆的方程.2、已知过A（0,1）和B（4,a）且与x轴

Question

两道关于圆的暴难题!强者进!
1、设圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段弧,其弧长之比为3：1；③圆心到直线l：x-2y=0的距离为√5/5,求该圆的方程.
2、已知过A（0,1）和B（4,a）且与x轴相切的圆只有一个,求a的值及圆的方程.

Answer 1

第二题：
与x轴相切的圆,圆心的y坐标的绝对值为圆的半径.
所以,可设圆的方程为,
(x - c)^2 + (y - d)^2 = d^2,
(x - c)^2 + y^2 - 2dy = 0,
又,a（0,1）和b（4,a）在圆上,
所以,
(0-c)^2 + 1 - 2d = 0, c^2 + 1 = 2d, d = (c^2 + 1)/2. ...(1)
(4-c)^2 + a^2 - 2da = 0, ...(2)
将（1）带入（2）,有,
(4-c)^2 + a^2 - a(c^2 + 1) = 0,
c^2 - 4c + 4 + a^2 - ac^2 - a = 0,
(1-a)c^2 - 4c + 4 + a^2 - a = 0 ...(3)
因满足条件的圆只有一个,所以关于c的2次方程（3）应该有2个相同的根.
因此,（-4）^2 - 4(1-a)[4 + a^2 - a] = 0,
4 - (1-a)[4 + a^2 -a] = 0,
4 - [4 + a^2 - a - 4a - a^3 + a^2] = 0,
a^3 - 2a^2 + 5a = 0,
a[a^2 - 2a + 5] = 0,
a[(a-1)^2 + 4] = 0.
所以,a = 0,
这时,（3）式化为,
(1-0)c^2 - 4c + 4 + 0 - 0 = 0,
c^2 - 4c + 4 = 0,
(c - 2)^2 = 0,
c = 2.
再由（1）式,
d = (2^2 + 1)/2 = 5/2.
因此,
圆的方程为,
(x - 2)^2 + (y - 5/2)^2 = (5/2)^2 = 9/4