高一数学任意角和弧度制（1）一个半径为r的扇形,若它的周长等于弧所在的半圆的长,那么扇形的圆心角是多少弧度?是多少度?扇 形的面积是多少?（2）一扇形的周长为20 cm,当扇形的圆心角 等

Question

高一数学任意角和弧度制
（1）一个半径为r的扇形,若它的周长等于弧所在的半圆的长,那么扇形的圆心角是多少弧度?是多少度?扇
形的面积是多少?
（2）一扇形的周长为20 cm,当扇形的圆心角 等于多少弧度时,这个扇形的面积最大?

Answer 1

解 （1）设扇形的圆心角是 rad,因为扇形的弧长是r ,
所以扇形的周长是2r+r .
依题意,得2r+r = r,
∴ = -2=( -2)× ≈1.142×57.30°≈65.44°≈65°26′,
∴扇形的面积为S= r2 = （ -2）r2.
（2）设扇形的半径为r,弧长为l,则l+2r=20,
即l=20-2r (0＜r＜10) ①
扇形的面积S= lr,将①代入,得
S= (20-2r)r=-r2+10r=-(r-5)2+25,
所以当且仅当r=5时,S有最大值25.此时
l=20-2×5=10, = =2.
所以当 =2 rad时,扇形的面积取最大值.