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操作:如图①,点O为线段MN的中点,直线PQ与MN相交于点O,请利用图①画出一对以点O为对称中心的全等三角形.根据上述操作得到的经验完成下列探究活动:探究一:如图②,在四边形ABCD中
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▼优质解答
答案和解析
(1)如图
(2)结论:AB=AF+CF.
证明:分别延长AE、DF交于点M.
∵E为BC的中点,
∴BE=CE,
∵AB∥CD,
∴∠BAE=∠M,
在△ABE与△MCE中,
∵
,
∴△ABE≌△MCE(AAS),
∴AB=MC,
又∵∠BAE=∠EAF,
∴∠M=∠EAF,
∴MF=AF,
又∵MC=MF+CF,
∴AB=AF+CF;
(3)分别延长DE、CF交于点G.
∵AB∥CF,
∴∠B=∠C,∠BAE=∠G,
∴△ABE∽△GCE,
∴
=
,
又∵
=
,
∴
=
,
∵AB=5,
∴GC=10,
∵FC=1,
∴GF=9,
∵AB∥CF,
∴∠BAE=∠G,
又∵∠BAE=∠EDF,
∴∠G=∠EDF,
∴GF=DF,
∴DF=9.
∠BAE=∠M ∠BAE=∠M ∠BAE=∠M∠AEB=∠MEC ∠AEB=∠MEC ∠AEB=∠MECBE=CE BE=CE BE=CE ,
∴△ABE≌△MCE(AAS),
∴AB=MC,
又∵∠BAE=∠EAF,
∴∠M=∠EAF,
∴MF=AF,
又∵MC=MF+CF,
∴AB=AF+CF;
(3)分别延长DE、CF交于点G.
∵AB∥CF,
∴∠B=∠C,∠BAE=∠G,
∴△ABE∽△GCE,
∴
=
,
又∵
=
,
∴
=
,
∵AB=5,
∴GC=10,
∵FC=1,
∴GF=9,
∵AB∥CF,
∴∠BAE=∠G,
又∵∠BAE=∠EDF,
∴∠G=∠EDF,
∴GF=DF,
∴DF=9.
AB AB ABGC GC GC=
BE BE BEEC EC EC,
又∵
=
,
∴
=
,
∵AB=5,
∴GC=10,
∵FC=1,
∴GF=9,
∵AB∥CF,
∴∠BAE=∠G,
又∵∠BAE=∠EDF,
∴∠G=∠EDF,
∴GF=DF,
∴DF=9.
BE BE BEEC EC EC=
1 1 12 2 2,
∴
=
,
∵AB=5,
∴GC=10,
∵FC=1,
∴GF=9,
∵AB∥CF,
∴∠BAE=∠G,
又∵∠BAE=∠EDF,
∴∠G=∠EDF,
∴GF=DF,
∴DF=9.
AB AB ABGC GC GC=
1 1 12 2 2,
∵AB=5,
∴GC=10,
∵FC=1,
∴GF=9,
∵AB∥CF,
∴∠BAE=∠G,
又∵∠BAE=∠EDF,
∴∠G=∠EDF,
∴GF=DF,
∴DF=9.

(2)结论:AB=AF+CF.
证明:分别延长AE、DF交于点M.
∵E为BC的中点,
∴BE=CE,
∵AB∥CD,
∴∠BAE=∠M,
在△ABE与△MCE中,
∵
|
∴△ABE≌△MCE(AAS),
∴AB=MC,
又∵∠BAE=∠EAF,
∴∠M=∠EAF,
∴MF=AF,
又∵MC=MF+CF,
∴AB=AF+CF;
(3)分别延长DE、CF交于点G.
∵AB∥CF,
∴∠B=∠C,∠BAE=∠G,
∴△ABE∽△GCE,
∴
AB |
GC |
BE |
EC |
又∵
BE |
EC |
1 |
2 |
∴
AB |
GC |
1 |
2 |
∵AB=5,
∴GC=10,
∵FC=1,
∴GF=9,
∵AB∥CF,
∴∠BAE=∠G,
又∵∠BAE=∠EDF,
∴∠G=∠EDF,
∴GF=DF,
∴DF=9.
|
∠BAE=∠M |
∠AEB=∠MEC |
BE=CE |
∠BAE=∠M |
∠AEB=∠MEC |
BE=CE |
∠BAE=∠M |
∠AEB=∠MEC |
BE=CE |
∴△ABE≌△MCE(AAS),
∴AB=MC,
又∵∠BAE=∠EAF,
∴∠M=∠EAF,
∴MF=AF,
又∵MC=MF+CF,
∴AB=AF+CF;
(3)分别延长DE、CF交于点G.
∵AB∥CF,
∴∠B=∠C,∠BAE=∠G,
∴△ABE∽△GCE,
∴
AB |
GC |
BE |
EC |
又∵
BE |
EC |
1 |
2 |
∴
AB |
GC |
1 |
2 |
∵AB=5,
∴GC=10,
∵FC=1,
∴GF=9,
∵AB∥CF,
∴∠BAE=∠G,
又∵∠BAE=∠EDF,
∴∠G=∠EDF,
∴GF=DF,
∴DF=9.
AB |
GC |
BE |
EC |
又∵
BE |
EC |
1 |
2 |
∴
AB |
GC |
1 |
2 |
∵AB=5,
∴GC=10,
∵FC=1,
∴GF=9,
∵AB∥CF,
∴∠BAE=∠G,
又∵∠BAE=∠EDF,
∴∠G=∠EDF,
∴GF=DF,
∴DF=9.
BE |
EC |
1 |
2 |
∴
AB |
GC |
1 |
2 |
∵AB=5,
∴GC=10,
∵FC=1,
∴GF=9,
∵AB∥CF,
∴∠BAE=∠G,
又∵∠BAE=∠EDF,
∴∠G=∠EDF,
∴GF=DF,
∴DF=9.
AB |
GC |
1 |
2 |
∵AB=5,
∴GC=10,
∵FC=1,
∴GF=9,
∵AB∥CF,
∴∠BAE=∠G,
又∵∠BAE=∠EDF,
∴∠G=∠EDF,
∴GF=DF,
∴DF=9.
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