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操作:如图①,点O为线段MN的中点,直线PQ与MN相交于点O,请利用图①画出一对以点O为对称中心的全等三角形.根据上述操作得到的经验完成下列探究活动:探究一:如图②,在四边形ABCD中

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▼优质解答
答案和解析
(1)如图
(2)结论:AB=AF+CF.
证明:分别延长AE、DF交于点M.
∵E为BC的中点,
∴BE=CE,
∵AB∥CD,
∴∠BAE=∠M,
在△ABE与△MCE中,
∠BAE=∠M
∠AEB=∠MEC
BE=CE

∴△ABE≌△MCE(AAS),
∴AB=MC,
又∵∠BAE=∠EAF,
∴∠M=∠EAF,
∴MF=AF,
又∵MC=MF+CF,
∴AB=AF+CF;
(3)分别延长DE、CF交于点G.
∵AB∥CF,
∴∠B=∠C,∠BAE=∠G,
∴△ABE∽△GCE,
AB
GC
BE
EC

又∵
BE
EC
1
2

AB
GC
1
2

∵AB=5,
∴GC=10,
∵FC=1,
∴GF=9,
∵AB∥CF,
∴∠BAE=∠G,
又∵∠BAE=∠EDF,
∴∠G=∠EDF,
∴GF=DF,
∴DF=9.
∠BAE=∠M
∠AEB=∠MEC
BE=CE
∠BAE=∠M
∠AEB=∠MEC
BE=CE
∠BAE=∠M
∠AEB=∠MEC
BE=CE
∠BAE=∠M
∠AEB=∠MEC
BE=CE
∠BAE=∠M∠BAE=∠M∠BAE=∠M∠AEB=∠MEC∠AEB=∠MEC∠AEB=∠MECBE=CEBE=CEBE=CE,
∴△ABE≌△MCE(AAS),
∴AB=MC,
又∵∠BAE=∠EAF,
∴∠M=∠EAF,
∴MF=AF,
又∵MC=MF+CF,
∴AB=AF+CF;
(3)分别延长DE、CF交于点G.
∵AB∥CF,
∴∠B=∠C,∠BAE=∠G,
∴△ABE∽△GCE,
AB
GC
BE
EC

又∵
BE
EC
1
2

AB
GC
1
2

∵AB=5,
∴GC=10,
∵FC=1,
∴GF=9,
∵AB∥CF,
∴∠BAE=∠G,
又∵∠BAE=∠EDF,
∴∠G=∠EDF,
∴GF=DF,
∴DF=9.
AB
GC
ABABABGCGCGC=
BE
EC
BEBEBEECECEC,
又∵
BE
EC
1
2

AB
GC
1
2

∵AB=5,
∴GC=10,
∵FC=1,
∴GF=9,
∵AB∥CF,
∴∠BAE=∠G,
又∵∠BAE=∠EDF,
∴∠G=∠EDF,
∴GF=DF,
∴DF=9.
BE
EC
BEBEBEECECEC=
1
2
111222,
AB
GC
1
2

∵AB=5,
∴GC=10,
∵FC=1,
∴GF=9,
∵AB∥CF,
∴∠BAE=∠G,
又∵∠BAE=∠EDF,
∴∠G=∠EDF,
∴GF=DF,
∴DF=9.
AB
GC
ABABABGCGCGC=
1
2
111222,
∵AB=5,
∴GC=10,
∵FC=1,
∴GF=9,
∵AB∥CF,
∴∠BAE=∠G,
又∵∠BAE=∠EDF,
∴∠G=∠EDF,
∴GF=DF,
∴DF=9.
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