初等数论问题性质1：a≡b(mod mj),j=1,2,3,4,.k,同时成立的充要条件为：a≡b(mod [m1,m2,.mk])证明：641|2的32次方+1还有一题：证明不定方程 x平方+2y平方=203

Question

初等数论问题
性质1：a≡b(mod mj),j=1,2,3,4,.k,
同时成立的充要条件为：
a≡b(mod [m1,m2,.mk])
证明：
641|2的32次方+1
还有一题：
证明不定方程 x平方+2y平方=203

Answer 1

题1:
证明性质：a≡b(mod mj),(j=1,2,...,k),
同时成立的充要条件为：a≡b(mod [m1,m2,...,mk])
解:
符号说明：lcm{mj},或[{mj}],表示最小公倍数.x|:m,表示m|x.
a-b==0 mod mj
(a-b)|:mj,从而(a-b)是mj的公倍数,即a-b=lcm{mj} ($$$)
于是a==b mod [{mj}].
逆过程显然.于是得证.
注：$$$应用到：公倍数是最小公倍数的倍数.
题2：
证明：641|(2^32+1)
证：即2^32+1==0mod641,参见
http://hi.baidu.com/wsktuuytyh/blog/item/ea41b7638df4cd6c0d33fa42.html
只须证2^32==-1 mod 641.
2^6=64,故5*(2^7)=640==-1 mod 641,1==(5*2^7)^4==(625)*2^28==-16*2^28=-2^32,从而2^32==-1.毕.
(以下记ax==b mod m为x==b/a mod m,这是洪伯阳记法,很好用)
2^6=64==-1/10 mod 641,故2^7==-1/5,(2^7)^4==1/625==-1/16,从而2^32==-1.毕.
题3：
证明不定方程 xx+2yy=203 无解
证：两边mod7得,xx+2yy==0 mod7
7的平方剩余有:0,1,4,2,可见x==y==0 mod7,设x=7a,y=7b,于是有：
49aa+98bb=7*19,显然无解.