形如199819981998.n个1998 123 ,且能被11整除的最小自然数n是多少

Question

形如199819981998.n个1998 123 ,且能被11整除的最小自然数n是多少

Answer 1

根据被11整除的数的性质：被11整除的数奇数位数字之和与偶数位数字之和的差被11整除.
如有N个1998,形如
……19981998123 这样的数,
奇数位的和就是
3 + 1 + 9 + 1 + 9 + 1 + …… + 9 + 1
= 3 + 1 + （9 + 1）×N
= 10N + 4
偶数位的和就是
2 + 8 + 9 + 8 + 9 + …… + 8 + 9
= 2 + （8 + 9）×N
= 17N + 2
则奇偶数位和的差
= 17N + 2 - (10N + 4)
= 7N - 2 能被11整除,令等于11M
7N - 2 = 11M
N = (11M + 2)/7 = (4M + 2)/7 + M
显然4M + 2是一个被7整除的数,又是个偶数,即4M + 2是一个被14整除的数.
立即看出M最小 = 3.此时N = 5
也就是5个连续的1998,后跟123：
19981998199819981998123
这样的数能被11整除.
N最小为5.