将7个相同大小的小球放入4个不同的箱子中（1)若箱子不空,有多少种放法?（2）若允许有空箱,有多少种放法?应该怎么分析啊?答案是（1）20种 (2)120种

Question

将7个相同大小的小球放入4个不同的箱子中
（1)若箱子不空,有多少种放法?
（2）若允许有空箱,有多少种放法?
应该怎么分析啊?
答案是（1）20种 (2)120种

Answer 1

(1)
用插棍法.7个球如下,4个箱子由3根棍子分开
例：O | O | O O | O O O
因为箱子不空,所以棍子一共有7-1=6个位置可以插.
C(3,6)=6*5*4/(3*2*1)=20（种）
(2)
还是用插棍法
因为允许有空箱子,所以每根棍子和每个箱子各占一个位置.
例：O | O O O || O O O
则：箱子加棍子一共有10个位置,棍子从中任选3个.
C(3,10)=10*9*8/(3*2*1)=120（种）
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插棍法是排列组合问题的一种很重要的技巧性方法,上述两个问题刚好含盖了插棍法的2种类型.
插棍法是把排列组合问题转化为球和棍子的问题.
两棍之间球的个数就是箱子内球的个数,所以棍子数是箱子数减1.
棍子占不占位置的关键就在于能否空箱,能就占位,不能就不占位.
除了往箱子放小球外,一般还有一类问题也是这么做的：
x和y为正整数,x+y=10,求解的组数.
10就相当于10个小球,x和y相当于两个箱子.用哪种插棍法的关键就在于x和y是自然数还是正整数.
其他的用插棍法的题目一般都会和上述的两种题目类似的了.
一定要掌握啊!