PA垂直平面ABCD,ABCD是矩形,PA=AB=1,AD=根号3,点F是PB的中点,连下接上：点E在边BC上移动.(1)当点E为BC的中点时,试判断EF与平面PAC的位置关系,并说明理由.(2)求直线PD与平面PAC所成的角的正弦值

Question

PA垂直平面ABCD,ABCD是矩形,PA=AB=1,AD=根号3,点F是PB的中点,连下
接上：点E在边BC上移动.(1)当点E为BC的中点时,试判断EF与平面PAC的位置关系,并说明理由.(2)求直线PD与平面PAC所成的角的正弦值

Answer 1

立体几何解得辛苦,
(1)
F为PB中点,E为BC中点
则三角形PBC中,EF∥PC
又,EF不包含于平面PAC中,PC包含于平面PAC中
故,EF∥平面PAC
(2)
第一步：先求出夹角在哪里?
过D作DG⊥AC,交AC于G
PA⊥平面ABCD,DG包含于平面ABCD
故PA⊥DG
又DG⊥AC
故DG⊥平面PAC
故PG为PD在平面PAC上的投影
故PD与平面PAC的夹角为∠DPG
第二步：求夹角大小
因DC=AB=1,AD=√3
故AC=2
故sinDAC=DC/AC=DG/AD
得1/2=DG/√3
得DG=√3/2
因PA=1,AD=√3
故PD=2
sinDPG=DG/PD=(√3/2)/2=√3/4