数列{an}中，an+1+an=3n-54（n∈N*）．（1）若a1=-20，求{an}的通项公式an；（2）设Sn为{an}的前n项和，当a1＞-27时，求Sn的最小值．

Question

数列{a_n}中，a_n+1+a_n=3n-54（n∈N^*）．
（1）若a₁=-20，求{a_n}的通项公式a_n；
（2）设S_n为{a_n}的前n项和，当a₁＞-27时，求S_n的最小值．

Answer 1

（1）∵

an+1+an＝3n−54

an+2+an+1＝3n−51

，两式相减得a_n+2-a_n=3，
∴a₁，a₃，a₅，…，与a₂，a₄，a₆，…都是d=3的等差数列
∵a₁=-20
∴a₂=-31，
①当n为奇数时，an＝−20+((n+1)/(2)−1)×3＝(3n−43)/(2)；
②当n为偶数时，an＝−31+((n)/(2)−1)×3＝(3n−68)/(2)；
（2）①当n为偶数时，S_n=（a₁+a₂）+（a₃+a₄）++（a_n-1+a_n）
=（3×1-54）+（3×3-54）++[3（n-1）-54]=3[1+3+5++（n-1）]-(n)/(2)×54=(3)/(4)n2−27n＝(3)/(4)(n−18)2-243，
∴当n=18时，（S_n）_min=-243；
②当n为奇数时，S_n=a₁+（a₂+a₃）++（a_n-1+a_n）=(3)/(4)n2−27n+(105)/(4)+a1＝(3)/(4)(n−18)2−216(3)/(4)+a1，
∴当n=17或19时（S_n）_min=a₁-216＞-243；综上，当n=18时（S_n）_min=-243．