求一曲线方程,使其曲面上任意一点处的切线在y轴上的截距等于在该点处的法线在x轴的截距

Question

求一曲线方程,使其曲面上任意一点处的切线在y轴上的截距等于在该点处的法线在x轴的截距

Answer 1

曲线y=f(x)
y'=f'(x)
设任一点为(a,f(a))
切线为y=f'(a)(x-a)+f(a),由x=0,得在y轴上截距为y=-af'(a)+f(a)
法线为y=-1/f'(a)*(x-a)+f(a),由y=0,得在x轴上截距为x=f(a)f'(a)+a
由题意：-af'(a)+f(a)=f(a)f'(a)+a
即解微分方程：-xy'+y=yy'+x
y'=(y-x)/(x+y)
令y=xu,则y'=u+xu'
代入上式得：u+xu'=(u-1)/(u+1)
xu'=-(1+u^2)/(u+1)
du(u+1)/(1+u^2)=-dx/x
udu/(1+u^2)+du/(1+u^2)=-dx/x
0.5d(u^2)/(1+u^2)+du/(1+u^2)=-dx/x
积分：0.5ln(1+u^2)+arctanu=-ln|x|+C
即0.5ln(1+y^2/x^2)+arctan(y/x)=-ln|x|+C
此即为所求曲线.