已知A、B、P是双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1（a>0,b>0）上不同的三点,且A、B两点的连线经过坐标原点.若直线PA,PB的斜率乘积K（pa）乘K（pb）=2/3,则该双曲线的离心率e为多少

Question

已知A、B、P是双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1（a>0,b>0）上不同的三点,且A、B两点的连线经过坐标原点.若直线PA,PB的斜率乘积K（pa）乘K（pb）=2/3,则该双曲线的离心率e为多少

Answer 1

设A点坐标为(Xo,Yo)由于AB连线过原点则B点坐标为(-Xo,-Yo).设P点坐标为(Xi,Yi)
Kpa=(Yi-Yo)/(Xi-Xo)Kpb=(Yi+Yo)/(Xi+Xo)
相乘得(Yi2-Yo2)/(Xi2-Xo2)=2/3
将P和A点坐标代入曲线方程,两式相减并变形得(Yi2-Yo2)/(Xi2-Xo2)=b2/a2
则b2/a2=2/3再由a2+b2=c2得到c2/a2=5/3,进而再求出e.