直线y=ax＋1和双曲线3x^2-y^2=1相交于A,B两点,问a为何值时,以AB为直径的圆过坐标原点?

Question

直线y=ax＋1和双曲线3x^2-y^2=1相交于A,B两点,问a为何值时,以AB为直径的圆过坐标原点?

Answer 1

代入得 3x^2-(ax+1)^2=1 ,
化简得 (3-a^2)x^2-2ax-2=0 ,
设 A（x1,y1）,B（x2,y2）,
则 x1+x2= 2a/(3-a^2) ,x1*x2=2/(a^2-3) ,
所以 y1*y2=(ax1+1)(ax2+1)=a^2x1x2+a(x1+x2)+1=1 ,
因为以 AB 为直径的圆过坐标原点,所以 OA丄OB ,即 OA*OB=0 ,
所以 x1x2+y1y2=0 ,因此 2/(a^2-3)+1=0 ,
解得 a=-1 或 a=1 .