已知椭圆中心在原点,且以坐标轴为对称轴1,已知椭圆中心在原点,且以坐标轴为对称轴,它到直线x+y=1相交于A,B两点,C是AB的中点,且|AB|=2√2,OC的斜率是√2/2,求该椭圆的方程(整体代入)x^2/3+(√2y^2/

Question

已知椭圆中心在原点,且以坐标轴为对称轴
1,已知椭圆中心在原点,且以坐标轴为对称轴,它到直线x+y=1相交于A,B两点,C是AB的中点,
且|AB|=2√2,OC的斜率是√2/2,求该椭圆的方程(整体代入)
x^2/3+(√2y^2/3)=1
2,已知圆O:x^2+y^2=1和抛物线:y=x^2-2上三个不同的点P,Q,R,如果直线PQ和PR都与圆O相切,
求证:直线QR也与圆O相切
3,设与定点F(2,0)为焦点,y轴为准线的抛物线C与直线l:y=kx相交于不同的两点A,B
(1)求抛物线C的方程
y^2=4(x-1)
(2)当|AF|+|BF|=12时,求直线l的倾斜角
30或150度
(3)当k变化时,求动弦AB的中点M的轨迹(设而不求)
点M轨迹方程y^2=2x(x>2),其轨迹抛物线一部分

Answer 1

1、设椭圆方程为：x^2/a^2+y^2/b^2=1,AB椭圆内的一个弦,方程为y=-x+1,
设A（x1,y1）,B(x2,y2),C((x1+y1)/2,(x2+y2)/2),|AB|=√{[1+(-1)^2](x2-x1)^2}=|x2-x1|√2=2√2,|x2-x1|=2,|AB|=√{[1+(-1)^2](y2-y1)^2}/1=2√2,|y2-y1|=2,设OC方程为y=√2/2x,C点坐标 （（x1+x2）/2,(y1+y2)/2）,(y1+y2)/(x1+x2)= √2/2,x1^2/a^2+y1^2/b^2=1,x2^2/a^2+y2^2/b^2=1,二式相减,（x^2-x1^2）/a^2+(y2^2-y1^2)/b^2=0,b^2/a^2+(y2-y1)(y2+y1)/(x2-x1)(x2+x1),(y2-y1)/x2-x1)=-1,(y2+y1)/(x1+x2)= √2/2,(b/a)^2-√2/2=0,a^2=√2b^2,这里设y2>y1,y2-y1=x1-x2=2,y2=y1+2,x2=x1-2,代入CO方程斜率,(y2-2+y2)/(x2+2+x2)= √2/2,(y2-1)/(x2+1)= √2/2,与直线方程y2=-x2+1联立,x2=1-√2,y2=√2,代原椭圆方程,b^2=3√2/2,
原方程为：x^2/3+√2y^2/3=1.
2、设P(x1,y1),Q(x2,y2),R(x3,y3),P、Q、R三点均在抛物线x^2=y+2上,x1^=y1+2,x2^2=y2+2,x3^2=y3+2,两两式相减得：x1+x2=(y1-y2)/(x1-x2)=k1,x1+x3=(y1-y3)/(x1-x3)=k2,x2+x3=(y2-y3)/(x2-x3)=k3,设PQ方程为：y=k1x+m,PR方程：y=k2+n,QR方程：y=k3+q,分别代入圆方程,PQ和PR与圆相切,故应与圆有一个公共点,△=b^2-4ac=0,分别把三直线方程代入圆方程,（1+k1^2）x^2+2k1mx+m^2-1=0,x^2+2k2nx+n^2-1=0,对于PQ和PR,k1^2+1=m^2,(x1+x2)^2+1=m^2,k2^2+1=n^2,(x1+x3)^2+1=n^2,
对于QR,x^2+2k3qx+q^2-1=0得：△=k3^2+1-q^2,x^2-k3x-2-q=0,根据韦达定理,x2+x3=k3,x2x3=-2-q,代入上式得△=0,QR与圆有一个公共点,即QR与圆相切.也可用原点（0,0）坐标代入点至直线距离公式计算是否等于半径来证明.
3、（1）焦点F（2,0）,而准线是y轴,轴线仍是x轴,但顶点不在原点,向右移动,顶点x坐标为（2+0）/2=1,0-1=-p/2,p=2,相当于y轴向右平移一个单位,抛物线方程为：y^2=2*2(x-1),即y^2=4(x-1),设A（x1,y1）,B(x2,y2),|AF|=p/2+x1-1=x1,|BF|=x2,|AF|+|BF|=x1+x2=12,x1+x2=12,直线l方程:y=kx,y1^2-y2^2=4(x1-x2),(y1-y2)(y1+y2)/(x1-x2)=4,(y1+y2)=4/k,(y1+y2)/2=2/k,(x1+x2)/2=6,设AB中点M,k=[(y1+y2)/2]/[(x1+x2)/2],2/k/6=k,k=±√3/3,
倾斜角为30 °或150°.
（2）、由前问可知(y1+y2)/2=2/k,设M点坐标为（x,y ）,AB直线通过原点,M是AB的中点,k=y/x,(y1+y2)/2=y,y=2/(y/x),从而得到轨迹方程：y^2=2x ,它受原抛物线的制约,与原方程联立,解得x=2,y=±2,为交点坐标,在此交点右端才是其轨迹方程有效部分,故x>2,是抛物线的一部分.