关于直线与圆的方程的一道数学题已知圆X^2+Y^2+X-6Y+m=0 与直线X+2Y-3=0相交于P,Q两点,O为坐标原点,问是否存在实数m使得OP*OQ=0（OP,OQ为向量,上面有箭头标志,我打不出来） 若存在求出m的值,若不存

Question

关于直线与圆的方程的一道数学题
已知圆X^2+Y^2+X-6Y+m=0 与直线X+2Y-3=0相交于P,Q两点,O为坐标原点,问是否存在实数m使得OP*OQ=0（OP,OQ为向量,上面有箭头标志,我打不出来） 若存在求出m的值,若不存在,请说明理由.

Answer 1

OP*OQ=0,说明OP垂直于OQ.同时,P、Q是圆上的点,可与直线方程联立.设两交点为（3-2y1,y1）,(3-2y2,y2),由OP*OQ=0,可得,（3-2y1）*（3-2y2）+y1*y2=0；即9-6（y1+y2）+5y1*y2=0.(1).
直线方程与圆方程联立后,5y^2-20y+12+m=0.(2).所以,y1+y2=4,y1*y2=(12+m)/5,将他们带入（1）中：可得m=3.最后,验证(2)式的三角形=4>0,说明m值存在,其值为3.