已知AB是O的直径，C是圆周上的动点，P是弧AC的中点．（1）如图1，求证：OP∥BC；（2）如图2，PC交AB于D，当△ODC是等腰三角形时，求∠A的度数．

Question

已知AB是 O的直径，C是圆周上的动点，P是弧AC的中点．
（1）如图1，求证：OP∥BC；
（2）如图2，PC交AB于D，当△ODC是等腰三角形时，求∠A的度数．

Answer 1

（1）证明：连结AC，延长PO交AC于H，如图1，
∵P是弧AB的中点，
∴PH⊥AC，
∵AB是 O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴BC⊥AC，
∴OP∥BC；
（2） 如图2，
∵P是弧AC的中点，
∴PA=PC，
∴∠PAC=∠PCA，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠PAO=∠PCO，
当DO=DC，设∠DCO=x，则∠DOC=x，∠PAO=x，
∴∠OPC=∠OCP=x，∠PDO=2x，
∵∠OPA=∠PAO=x，
∴∠POD=2x，
在△POD中，x+2x+2x=180°，解得x=36°，
即∠PAO=36°，
当CO=CD，设∠DCO=x，则∠OPC=x，∠PAO=x，
∴∠POD=2x，
∴∠ODC=∠POD+∠OPC=3x，
∵CD=CO，
∴∠DOC=∠ODC=3x，
在△POC中，x+x+5x=180°，解得x=（(180)/(7)）°，
即∠PAO=（(180)/(7)）°．
综上所述，∠A的度数为36°或（(180)/(7)）°．