曲线积分I=∫(2Xcosy+ysinx)dx-(x*xsiny+cosx)dy,其中,AB弧为位于第一象限中的圆弧x*x+y*y=1,A(1,0),B(0,1)则I是多少?

Question

曲线积分I=∫(2Xcosy+ysinx)dx-(x*xsiny+cosx)dy,其中,AB弧为位于第一象限中的圆弧x*x+y*y=1,
A(1,0),B(0,1)则I是多少?

Answer 1

P=2xcosy+ysinx,Q=-x²siny-cosx
∂P/∂y=-2xsiny+sinx,∂Q/∂x=-2xsiny+sinx
由于∂P/∂y=∂Q/∂x,因此积分与路径无关,下面重新选积分路径
L1：y=0,x从1→0
L2：x=0,y从0→1
原式=∫(L1) (2xcosy+ysinx)dx-(x²siny+cosx)dy+∫(L2) (2xcosy+ysinx)dx-(x²siny+cosx)dy
=∫ [1→0] 2xdx - ∫[0→1] 1 dy
=x² |[1→0] -1
=-2