使得2n(n+1)(n+2)(n+3)+12可表示为2个正整数平方和的自然数n存在吗?

Question

使得2n(n+1)(n+2)(n+3)+12可表示为2个正整数平方和的自然数n存在吗?

Answer 1

不存在.
因为n(n+1)(n+2)(n+3)是四个连续自然数之积,所以必是24的倍数.它的2倍当然就是48的倍数.假设2n(n+1)(n+2)(n+3)+12可表为两个正整数的平方和：
2n(n+1)(n+2)(n+3)+12=x²+y²
左端是4的倍数,那么x,y均为偶数,否则右端不是4的倍数.设x=2m,y=2n,可得：
n(n+1)(n+2)(n+3)/2+3=m²+n²
n(n+1)(n+2)(n+3)/2仍是4的倍数,左端被4除余3,但是右端无论如何不会被4除余3.矛盾.