对于任意五个自然数,证明其中一定有3个数,它们的和能被3整除.就这样

Question

对于任意五个自然数,证明其中一定有3个数,它们的和能被3整除.
就这样

Answer 1

证明如下
任何一个自然数,除以3后的余数只能有3种可能：0、1、2.
例如 A B C D E 是5个自然数,它们除以3后的余数分别为 a b c d e.
那么 a b c d e 这5个数 只能有3个值 0 1 2 可供选取.
A B C D E 中任意取3个数,它们的和是否能被3整除,等效于 各自对应的余数之和是否能被3整除.即原问题可转化为 a b c d e 中任取3个数,一定能有一组数,其和能被3整除.
因为 a b c d e 五个数只能取 0 1 2 三个值,所以就五个数而言,只能有如下2种情况出现：
1） 有3个以上（包含3个）数相同,余下的数不再相同.
2） 有2组相同的2个数,另外1个数与它们不再相同.例如,a=b,c=d,而 a c e 互不相等.
对于第1）种情况,因为有3个以上数相同,那么就可以随意选择这相同数中的3个.它们的和 或者为 0+0+0=0、或者为 1+1+1=1,或者为 2+2+2=6.不论怎样,一定能被3整除.
对于2）种情况,一定可以找到互不相等的3个数.它们的和必然为 0+1+2=3.因此能被3整除.
综上所述,命题成立.