已只A为不小于2的正整数,请你说明代数式1/4A^4-1/2A^3+1/4A^2的植一定为整数,且为一完全平方数

Question

已只A为不小于2的正整数,请你说明代数式1/4A^4-1/2A^3+1/4A^2的植一定为整数,且为一完全平方数

Answer 1

(1/4)*A^4-(1/2)*A^3+(1/4)*A^2
=(1/4)*A^2*(A^2-2A+1)
=(1/4)*A^2*(A-1)^2
=[(1/2)*A*(A-1)]^2
如果A是奇数,那么(A-1)就是偶数.
如果A是偶数,那么(A-1)就是奇数.
所以
(1/2)*A*(A-1)总是整数.
这就证明了命题.