如图四边形ABCD为正方形,PD⊥平面ABCD,PD∥QA,QA＝AB＝PD.(1)证明：平面PQC⊥平面DCQ；(2)求二面角Q－BP－C的余弦值．

Question

如图四边形ABCD为正方形,PD⊥平面ABCD,PD∥QA,QA＝AB＝PD.(1)证明：平面PQC⊥平面DCQ；(2)求二面角Q－BP－C的余弦值．

Answer 1

过点Q作QH⊥PD于点H,又因为PD∥QA,2QA＝2AB＝PD,所以PD=PH=QH,所以DQ⊥PQ,所以PQ⊥平面CDQ,所以平面PQC⊥平面DCQ\x0d(2)以D为原点,DA、DP、DC为x、y、z轴建立空间直角坐标系.设AQ=a,则C(0,0,a),P(0,2a,0),Q(a,a,0),B(a,0,a).解得平面BPQ与平面CPQ的法向量为（1,1,1）、（1,1,-2）.所以二面角Q－BP－C的余弦值为0