（2014•北海一模）已知函数f（x）=ax+lnx，其中a为常数，设e为自然对数的底数．（1）当a=-1时，求f（x）的最大值；（2）若f（x）在区间（0，e]上的最大值为-3，求a的值；（3）当a=-1时，试推

Question

（2014•北海一模）已知函数f（x）=ax+lnx，其中a为常数，设e为自然对数的底数．
（1）当a=-1时，求f（x）的最大值；
（2）若f（x）在区间（0，e]上的最大值为-3，求a的值；
（3）当a=-1时，试推断方程|f（x）|=(lnx)/(x)+(1)/(2)是否有实数解．

Answer 1

（1）易知f（x）定义域为（0，+∞），
当a=-1时，f（x）=-x+lnx，f′（x）=-1+(1)/(x)＝(1−x)/(x)，令f′（x）=0，得x=1．
当0＜x＜1时，f′（x）＞0；当x＞1时，f′（x）＜0．
∴f（x）在（0，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数．
f（x）_max=f（1）=-1．
∴函数f（x）在（0，+∞）上的最大值为-1．
（2）∵f′（x）=a+(1)/(x)，x∈（0，e]，(1)/(x)∈[(1)/(e)，+∞)．
①若a≥−(1)/(e)，则f′（x）≥0，从而f（x）在（0，e]上增函数，
∴f（x）_max=f（e）=ae+1≥0，不合题意．
②若a＜−(1)/(e)，则由f′（x）＞0⇒a+(1)/(x)＞0，即0＜x＜−(1)/(a)
由f′（x）＜0⇒a+(1)/(x)＜0，即−(1)/(a)＜x≤e．
从而f（x）在(0，−(1)/(a))上增函数，在(−(1)/(a)，e)为减函数
∴f（x）_max=f(−(1)/(a))=-1+ln(−(1)/(a))
令-1+ln(−(1)/(a))=-3，则ln(−(1)/(a))=-2
∴−(1)/(a)=e^-2，即a=-e²．∵-e²＜−(1)/(e)，∴a=-e²为所求．
（3）由（1）知当a=-1时f（x）_max=f（1）=-1，
∴|f（x）|≥1．
又令g（x）=(lnx)/(x)+(1)/(2)，g′（x）=(1−lnx)/(x2)，令g′（x）=0，得x=e，
当0＜x＜e时，g′（x）＞0，g（x）  在（0，e）单调递增；
当x＞e时，g′（x）＜0，g（x） 在（e，+∞）单调递减．
∴g（x）_max=g（e）=(1)/(e)+(1)/(2)＜1，∴g（x）＜1，
∴|f（x）|＞g（x），即|f（x）|＞(lnx)/(x)+(1)/(2)．
∴方程|f（x）|=

作业帮用户 2017-11-09 举报

扫描下载二维码

©2019 作业帮 联系方式：[e-mail]  作业帮协议