在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别是面对角线BD和棱B1B上的任意一点．（1）求证：不论点E、F怎样移动,EF与A1C1所成的角均为定值； （2）又若F为B1B的中点,当DE:EB等于多少时,EF⊥平面A1FC1

Question

在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别是面对角线BD和棱B1B上的任意一点．
（1）求证：不论点E、F怎样移动,EF与A1C1所成的角均为定值；
（2）又若F为B1B的中点,当DE:EB等于多少时,EF⊥平面A1FC1．

Answer 1

(1) 因为A1C1⊥B1D1,A1C1⊥BB1
所以 A1C1⊥面DBB1D1
A1C1⊥EF 即不论点E、F怎样移动,EF与A1C1所成的角均为90度.
（2）以DA、DC、DD1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系
则D（0,0,0）,C（1,1,0）,C1（0,1,1）,F（1,1,0.5）
向量 C1F＝（1,0,-0.5）
设DE：EB＝ λ,根据定比分点公式得：E( λ/(1+λ),λ/(1+λ),0)
向量EF= (1/(1+λ),1/(1+λ),0.5)
假设EF⊥平面A1FC1．,则 EF⊥C1F．
向量EF*C1F＝1/(1+λ)-0.25＝0
λ＝3
即当DE:EB＝3时,EF⊥平面A1FC1．