已知直线L：y=x+b 与曲线x^2 + y^2=1交于A,B两点,求线段AB的中点的轨迹方程

Question

已知直线L：y=x+b 与曲线x^2 + y^2=1交于A,B两点,求线段AB的中点的轨迹方程

Answer 1

因为y=x+b,带入圆的方程,x^2+(x+b)^2=1,x^2+x^2+b^2+2bx=1,x^2+b^2/2+bx=1/2,（x+b/2)^2=1/2-b/4,解得x=±〔√（2-b^2)/4〕-b/2,所以AB两点坐标为「〔√（2-b^2)/4〕-b/2,〔（√（2-b^2)/4〕+b/2」,「〔-√（2-b^2)/4〕-b/2,〔（-√（2-b^2)/4〕+b/2」,则AB的中点坐标为（-(√2-b^2)/2),-(√2-b^2)/2),不管b取何值,x和y始终相等,所以中点的轨迹方程为y=x
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