磁浮列车是一种高速运载工具．它具有两个重要系统：悬浮系统和驱动系统．设图中xOy平面代表轨道平面，x轴与轨道平行，现有一个与轨道平面垂直的磁场正以速度v向-x方向匀速运动，设在

Question

磁浮列车是一种高速运载工具．它具有两个重要系统：悬浮系统和驱动系统．设图中xOy平面代表轨道平面，x轴与轨道平行，现有一个与轨道平面垂直的磁场正以速度v向-x方向匀速运动，设在t=0时，该磁场的磁感应强度B的大小随着空间位置x的变化规律为B=B₀coskx（式中B₀、k为已知常量），且在y轴处，该磁场垂直xOy平面指向纸里．与轨道平面平行的一个金属矩形框MNPQ处在该磁场中，已知该金属框的MN、PQ边与轨道垂直，长度为L，且MN边固定在y轴上；MQ、NP边与轨道平行，长度为d=(π)/(k)，金属框的总电阻为R，忽略金属框对原磁场的影响．求：

（1）t=0时刻，金属框中的感应电流I₀大小和方向．
（2）金属框中感应电流i的瞬时值表达式．
（3）金属框所受安培力F的瞬时值表达式；并在图2中画出F随时间变化的图象．

Answer 1

（1）磁场向-x方向运动，等效金属框向+x方向运动．
t=0时刻，金属框产生的电动势：e=2B₀Lv，i=(e)/(R)=(2B0Lv)/(R)，
电流的方向根据右手定则可知为M→N→P→Q→M；
（2）设经过时间t，金属框MN所在处磁场强度为B，
电流：i=(2BLv)/(R)=(2B0Lv)/(R)cos(kx)
又x=vt，得到电流瞬时值的表达式是：i=(2B0Lv)/(R)cos(kvt)；
（3）金属框受安培力的方向始终向左．设经过时间t，
金属框受到安培力为：
F安=2BiL=(4B2L2v)/(R)=(4B20L2v)/(R)cos2(kvt)=(2B20L2v)/(R)[cos(2kvt)+1]，
由此可知：金属框受到安培力F随时间变化的图象如下图：

答：（1）t=0时刻，金属框中的感应电流I₀大小为：(2B0Lv)/(R)，方向：M→N→P→Q→M．
（2）金属框中感应电流i的瞬时值表达式为：i=(2B0Lv)/(R)cos（kvt）．
（3）金属框所受安培力F的瞬时值表达式为：F_安=(2B20L2v)/(R)[cos（2kvt）+1]，F随时间变化的图象如图所示．