已知向量a=(cos3x/2,sin3x/2),b=(cosx/2,-sinx/2),求向量a*b已知向量a=（cos3x/2,sin3x/2）,b=（cosx/2,-sinx/2）,且x∈[0,π/2]若f（x）=a*b-2λ|a+b|的最小值为-3/2,求λ的值

Question

已知向量a=(cos3x/2,sin3x/2),b=(cosx/2,-sinx/2),求向量a*b
已知向量a=（cos3x/2,sin3x/2）,b=（cosx/2,-sinx/2）,且x∈[0,π/2]
若f（x）=a*b-2λ|a+b|的最小值为-3/2,求λ的值

Answer 1

由内积公式可知:a*b=cos3x/2cosx/2-sin3x/2sinx/2=cos2x（利用两角和的余弦公式）
|a+b|^2=a^2+2ab+b^2=1+2cos2x+1=2(cos2x+1)=4(cosx)^2(利用向量的模长计算公式和二倍角公式)
f(x)=cos2x-4λcosx
=2(cosx)^2-4λcosx-1
令cosx=t,则0<=t<=1
y=2t^2-4λt-1
=2(t-λ)^2-1-2λ^2
情况一：λ<0,上面函数在[0,1]上单增,最小值为-1不等于-3/2,舍
情况二：λ>1,上面函数在[0,1]上单减,最小值为1-4λ=-3/2,解得λ=5/8舍
情况三：0<=λ<=1,上面函数在[0,1]上先减后增,最小值为-1-2λ^2=-3/2,解得λ=1/2
所以:λ=1/2