若一个自然数的立方的末三位数字为999,则称这样的自然数为“千禧数”,求最小的“千禧数”.

Question

若一个自然数的立方的末三位数字为999,则称这样的自然数为“千禧数”,求最小的“千禧数”.

Answer 1

设n是“千禧数”,则n^3+1可被1000整除,
n^3+1=(n+1)(n^2-n+1).
n^2-n+1总是奇数.
此外,n^2-n+1总不是5的倍数.因为：
n=5m时,n^2-n+1=25m^2-5m+1,除以5的余数为1,
n=5m+1时,n^2-n+1=25m^2+10m+1-5m-1+1,除以5的余数为1,
n=5m+2时,n^2-n+1=25m^2+20m+4-5m-2+1,除以5的余数为3,
n=5m+3时,n^2-n+1=25m^2+30m+9-5m-3+1,除以5的余数为2,
n=5m+4时,n^2-n+1=25m^2+40m+16-5m-4+1,除以5的余数为3.
所以,n+1是100的倍数,最小的“千禧数”是999.