如图所示，一薄壁导体球壳（以下简称为球壳）的球心在O点．球壳通过一细导线与端电压U=90V的电池的正极相连，电池负极接地．在球壳外A点有一电量为q1＝10×10−9C的点电荷，B点有一电量

Question

如图所示，一薄壁导体球壳（以下简称为球壳）的球心在O点．球壳通过一细导线与端电压U=90V的电池的正极相连，电池负极接地．在球壳外A点有一电量为q1＝10×10−9 C的点电荷，B点有一电量为q2＝16×10−9 C的点电荷．OA之间的距离d₁=20cm，OB之间的距离d₂=40cm．现设想球壳的半径从a=10cm开始缓慢地增大到50cm，问：在此过程中的不同阶段，大地流向球壳的电量各是多少？
己知静电力恒量k=9×10⁹N•m²•C^-2．假设点电荷能穿过球壳壁进入导体球壳内而不与导体壁接触．

Answer 1

分以下几个阶段讨论：
1．由于球壳外空间点电荷q₁、q₂的存在，球壳外壁的电荷分布不均匀，用σ表示面电荷密度．设球壳半径a=10cm时球壳外壁带的电量为Q₁，因为电荷q₁、q₂与球壳外壁的电量Q₁在球壳内产生的合场强为零，球壳内为电势等于U的等势区，在导体表面上的面元△S所带的电量为σ△S，它在球壳的球心O处产生的电势为△U1＝k(σ△S)/(a)，球壳外壁所有电荷在球心O产生的电势U₁为U1＝∑△U1＝k(∑σ△S)/(a)＝k(Q1)/(a)（1）
点电荷q₁、q₂在球壳的球心O处产生的电势分别为k(q1)/(d1)与k(q2)/(d2)，因球心O处的电势等于球壳的电势，按电势叠加原理，即有k(q1)/(d1)+k(q2)/(d2)+k(Q1)/(a)＝U（2）
代入数值后可解得球壳外壁的电量Q₁为 Q1＝a(U)/(k)−a((q1)/(d1)+(q2)/(d2))＝−8×10−9 C
因球壳内壁无电荷，所以球壳的电量Q_Ⅰ等于球壳外壁的电量Q₁，即Q_Ⅰ=Q₁=-8×10^-9C  （3）
2．当球壳半径趋于d₁时（点电荷仍在球壳外），设球壳外壁的电量变为Q₂，球壳外的电荷q₁、q₂与球壳外壁的电量Q₂在壳内产生的合场强仍为零，因球壳内仍无电荷，球壳内仍保持电势值为U的等势区，则有k(q1)/(d1)+k(q2)/(d2)+k(Q2)/(d1)＝U（4）
解得球壳外壁的电量Q2＝d1(U)/(k)−d1((q1)/(d1)+(q2)/(d2))＝−16×10−9 C
因为此时球壳内壁电量仍为零，所以球壳的电量就等于球壳外壁的电量，即Q_Ⅱ=Q₂=-16×10^-9C （5）
在a=10cm到趋于d₁的过程中，大地流向球壳的电量为△Q_Ⅰ=Q_Ⅱ-Q_Ⅰ=-8×10^-9C （6）
3．当点电荷q₁穿过球壳，刚进入球壳内（导体半径仍为d₁），点电荷q₁在球壳内壁感应出电量-q₁，因球壳的静电屏蔽，球壳内电荷q₁与球壳内壁电荷-q₁在球壳外产生的合电场为零，表明球壳外电场仅由球壳外电荷q₂与球壳外壁的电荷Q₃所决定．由于球壳的静电屏蔽，球壳外电荷q₂与球壳外壁的电荷Q₃在球壳内产生的合电场为零，表明对电荷q₂与Q₃产生的合电场而言，球壳内空间是电势值为U的等势区．q₂与Q₃在球心O处产生的电势等于球壳的电势，即k(q2)/(d2)+k(Q3)/(d1)＝U（7）
解得球壳外壁电量Q3＝d1(U)/(k)−d1(q2)/(d2)＝−6×10−9 C（8）
球壳外壁和内壁带的总电量应为 Q_Ⅲ=Q₃+（-q₁）=-16×10^-9C  （9）
在这过程中，大地流向球壳的电量为△Q_Ⅱ=Q_Ⅲ-Q_Ⅱ=0  （10）
这个结果表明：电荷q₁由球壳外极近处的位置进入壳内，只是将它在球壳外壁感应的电荷转至球壳内壁，整个球壳与大地没有电荷交换．
4．当球壳半径趋于d₂时（点电荷q₂仍在球壳外），令Q₄表示此时球壳外壁的电量，类似前面第3阶段中的分析，可得k(q2)/(d2)+k(Q4)/(d2)＝U（11）
由此得Q4＝d2(U)/(k)−d2((q2)/(d2))＝−12×10−9 C
球壳的电量Q_Ⅳ等于球壳内外壁电量的和，即 Q_Ⅳ=Q₄+（-q₁）=-22×10^-9C  （12）
大地流向球壳的电量为△Q_Ⅲ=Q_Ⅳ-Q_Ⅲ=-6×10^-9C （13）
5．当点电荷q₂穿过球壳，刚进入球壳内时（球壳半径仍为d₂），球壳内壁的感应电荷变为-（q₁+q₂），由于球壳的静电屏蔽，类似前面的分析可知，球壳外电场仅由球壳外壁的电量Q₅决定，即k(Q5)/(d2)＝U（14）
可得Q5＝d2(U)/(k)＝4×10−9 C
球壳的总电量是 Q_Ⅴ=Q₅-（q₁+q₂）=-22×10^-9C  （15）
在这个过程中，大地流向球壳的电量是△Q_Ⅳ=Q_Ⅴ-Q_Ⅳ=0 （16）
6．当球壳的半径由d₂增至a₁=50cm时，令Q₆表示此时球壳外壁的电量，有k(Q6)/(a1)＝U（17）
可得Q6＝a1(U)/(k)＝5×10−9 C球壳的总电量为 Q_Ⅵ=Q₆-（q₁+q₂）=-21×10^-9C  （18）
大地流向球壳的电量为△Q_Ⅴ=Q_Ⅵ-Q_Ⅴ=1×10^-9C （19）
答：在a=10cm到趋于d₁的过程中，大地流向球壳的电量为-8×10^-9C；当点电荷q₁穿过球壳的过程中，大地流向球壳的电量为0；当点电荷q₁穿过球壳，整个球壳与大地没有电荷交换．当球壳半径趋于d₂时大地流向球壳的电量为-6×10^-9C；当点电荷q₂穿过球壳时大地流向球壳的电量是0；当球壳的半径由d₂增至a₁=50cm时，大地流向球壳的电量为1×10^-9C．