已知向量a,向量b是非0向量且满足,（a—2b)垂直a,（b—2a)垂直b,则向量a向量b的夹角是?

Question

已知向量a,向量b是非0向量且满足,（a—2b)垂直a,（b—2a)垂直b,则向量a向量b的夹角是?

Answer 1

则向量a向量b的夹角是60度.
设,向量a=(m,n),向量b=(x,y),
(a-2b)=(m-2x,n-2y),
(b-2a)=(x-2m,y-2n).
（a—2b)垂直a,则有
(m-2x)*m+n(n-2y)=0,
(m^2+n^2)/2=mx+ny.(1)式
（b—2a)垂直b,则有,
(x-2m)*x+(y-2n)*y=0,
(x^2+y^2)/2=xm+ny.(2)式
a*b=|a|*|b|*cosθ,
cosθ=(mx+ny)/[√(m^2+n^2)*√(x^2+y^2)]
把(1),(2)式代入cosθ中,可得.
cosθ=(1/√2)*(1/√2)=1/2=cos60,
θ=60度.
则向量a向量b的夹角是60度.