关于高数微分中值定理的问题!这是微分中值定理的课后习题,发现这类题好有难度!希望您能为我指点迷津!

Question

关于高数微分中值定理的问题!

这是微分中值定理的课后习题,发现这类题好有难度!希望您能为我指点迷津!

Answer 1

少个f(0)=0的条件吧
左边=[f(x)-f(0)]/(x^n-0) = f'(x1)/(nx^(n-1))   拉格朗日,x1在0和x之间
=[f'(x1)-f'(0)]/[(nx^(n-1)) - 0] = f''(x2)/[n(n-1)x^(n-2)] 拉格朗日,x2在0和x1之间
=.=[f(xn)]^(n)/n!= [f(θx)]^(n)/n!θ∈(0,1)

设F(x)=g(x)-x=(f(x)-x)/2,F(a)=(f(a)-a)/2>0,F(b)=(f(b)-b)/2<0,所以F(a)F(b)<0,由介值定理可知,至少存在一个x*,使得F(x*)=0,即g(x*)=x*
假设有y≠x*使得g(y)=y,即f(x*)=x*,f(y)=y,由拉格朗日中值定理可知存在t,使得
f'(t)=[f(y)-f(x*)]/(y-x*)=1,与已知矛盾,所以不存在y≠x*且g(y)=y,即x*的值唯一

在[0,a]和[b,a+b]使用拉格朗日中值定理得:
f'(x1)=f(a)/a,f'(x2)=(f(a+b)-f(b))/a,其中0两式相减得a[f'(x2)-f'(x1)]=f(a+b)-[f(a)+f(b)]
由已知可得:f'(x1)>=f'(x2)
所以f(a+b)-[f(a)+f(b)]<=0,所以f(a+b)<=f(a)+f(b)