求一道数学几何证明题如图.设P是等边三角形ABC的BC边上任意一点,连接AP,以P为顶点,作∠APQ=60°,PQ交∠C的外角平分线于Q,那么△APQ是什么三角形?

Question

求一道数学几何证明题
如图.设P是等边三角形ABC的BC边上任意一点,连接AP,以P为顶点,作∠APQ=60°,PQ交∠C的外角平分线于Q,那么△APQ是什么三角形?

Answer 1

这个证法必须在学习相似三角形的知识后才能用!
标注AC和PQ的交点为O
因为△ABC为等边三角形
CQ是∠C的外角平分线
∠ACQ=（180°-∠ACB）/2=120°/2=60°
在△CQO和△PAO中
∠APO=60°=∠ACQ
∠AOP=∠COQ(
)
△CQO和△PAO相似
可得到 OQ：OA=OC：OP
用在△AOQ和△POC中
∠AOQ=∠POC(
)
OQ：OA=OC：OP
得到△AOQ和△POC相似
则∠AQO=∠PCO=60°
即∠AQP为60°,因为∠APQ也是60°（已知）,则剩余∠PAQ也是60°
所以△APQ是等边三角形