求简便方法,没简便的有麻烦的也行,光思路也可,要正确!,设θ是三次多项式f(x)=x^3-3x=10的一个根,且a=（θ^2+θ-2）/2 若h(x)是一个有理系数的二次多项式,满足条件h(a)=θ.则h(0)等于______A:-2一楼注意:

Question

求简便方法,没简便的有麻烦的也行,光思路也可,要正确!,
设θ是三次多项式f(x)=x^3-3x=10的一个根,且a=（θ^2+θ-2）/2 若h(x)是一个有理系数的二次多项式,满足条件h(a)=θ.则h(0)等于______
A:-2
一楼注意:θ=-2不是三次多项式f(x)=x^3-3x=10的一个根!

Answer 1

我只想到了一个比较复杂的思路：
1.先证θ不是有理数
假设相反,易知θ不是整数
设θ=m/n为既约分数,
则θ^3-3θ=m(m^2-3n^2)/n^3=10,
那么m(m^2-3n^2)整除n^3
那么m(m^2-3n^2)整除n
但m与n无共因子,故m^2-3n^2整
除n,矛盾
2.再证θ不是有理系数2次方程的根
假设相反,那么θ可表为a+√b或
a-√b的形式,其中a,b为有理数
并且,由1.,√b为无理数
那么,把a+√b或a-√b代入θ^3-3θ
并由√b为无理数得,3a^2+b=3
那么,把3a^2+b=3和a±√b再代入
原方程得4a^3-3a+5=0,利用与1.
同样的方法得a不是有理数,矛盾.
3.证明h(0)=-2
现在,设h(x)=4px^2+2qx+r,其中,
p,q,r为有理数
在方程h(a)=θ中,代入a=(θ^2+θ-2)/2,
利用θ^3-3θ=10化去4次及3次项,得：
θ(qθ+12p+q-1)+24p-2q+r=0
那么θ(qθ+12p+q-1)为有理数 ,如果
q≠0,那么θ是有理系数2次方程的根,
与2.矛盾,所以q=0
现在如果12p-1≠0,那么
θ(qθ+12p+q-1)为无理数,亦矛盾.
为此,知p=1/12,q=0,从而r=-2
故h(0)=r=-2