数学家欧拉1765年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知△ABC的顶点A（2，0），B（0，4），若其欧

Question

数学家欧拉1765年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知△ABC的顶点A（2，0），B（0，4），若其欧拉线的方程为x-y+2=0，则顶点C的坐标是（　　）

A、（-4，0）

B、（0，-4）

C、（4，0）

D、（4，0）或（-4，0）

Answer 1

分析：
设出点C的坐标，由重心坐标公式求得重心，代入欧拉线得一方程，求出AB的垂直平分线，和欧拉线方程联立求得三角形的外心，由外心到两个顶点的距离相等得另一方程，两方程联立求得点C的坐标．

设C（m，n），由重心坐标公式得，三角形ABC的重心为（2+m3，4+n3），代入欧拉线方程得：2+m3-4+n3+2=0，整理得：m-n+4=0  ①AB的中点为（1，2），kAB=4-00-2=-2，AB的中垂线方程为y-2=12（x-1），即x-2y+3=0．联立x-2y+3=0x-y+2=0，解得x=-1y=1．∴△ABC的外心为（-1，1）．则（m+1）2+（n-1）2=32+12=10，整理得：m2+n2+2m-2n=8  ②联立①②得：m=-4，n=0或m=0，n=4．当m=0，n=4时B，C重合，舍去．∴顶点C的坐标是（-4，0）．故选：A．
点评：
本题考查直线方程的求法，训练了直线方程的点斜式，考查了方程组的解法，是基础的计算题．