已知函数f（x）=（alnx）/（x+1)+b/x,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为x+2y-3=0（Ⅰ）求a、b的值；（Ⅱ）如果当x＞0,且x≠1时,f（x）＞lnx/（x-1）+k/x,求k的取值范围

Question

已知函数f（x）=（alnx）/（x+1)+b/x,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为x+2y-3=0
（Ⅰ）求a、b的值；
（Ⅱ）如果当x＞0,且x≠1时,f（x）＞lnx/（x-1）+k/x,求k的取值范围

Answer 1

(1)切线方程变形为 y=(-1/2)(x-1)+1
可见斜率k=-1/2,f(1)=1
f'(x)=[a(x+1)/x-alnx]/(x+1)^2-b/x^2
已知k=f'(1)=(2a)/4-b=-1/2 即a-2b=-1 (1)
f(1)=b=1
代入(1)得 a=1
f(1)=b,
由题,x+2y-3=0过点(1,b)
代入解得b=1
相切,有f'(a)=a/2-b=a/2-1=-1/2
解得a=1
故f(x)=lnx/(x+1) +1/x
x>0且x≠1时,f(x)＞lnx/(x-1) + k/x
整理得
k0且x≠1时恒成立
设h(x)=xlnx/(x-1)(x+1),原问题等价于求h(x))在x>0且x≠1上最大值
h'(x)=[-x²lnx-lnx+x²-1]/(x²-1)²
令g(x)=-x²lnx-lnx+x²-1
g'(x)=2x-2xlnx-x-1/x
g"(x)=1/x²-2lnx-1
g'"(x)=-2/x³-2/x0,h↑；1