设函数f（x）=2x^3-3(a+1)x^2+6ax+1当a=-1时,设A（x1,y1）B（x2,y2）（x1不等于x2）是函数f（x）图像上的两个动点,且在A,B处的两切线l1,l2互相平行,求证：直线AB必过定点,并求出此定点的坐标

Question

设函数f（x）=2x^3-3(a+1)x^2+6ax+1
当a=-1时,设A（x1,y1）B（x2,y2）（x1不等于x2）是函数f（x）图像上的两个动点,且在A,B处的两切线l1,l2互相平行,求证：直线AB必过定点,并求出此定点的坐标

Answer 1

当a=-1时,f(x)=2x^3-6x+1
f'(x)=6x^2-6,L1的斜率k1=6x2^2-6,L2的斜率k2=6x2^2-6
又在A,B处的两切线l1,l2互相平行则6x2^2-6=6x2^2-6得x1=-x2
f(x1)=2x1^3-6x1+1,f(x2)=f(-x1)=-2x1^3+6x1+1
kAB=[f(x1)-f(x2)]/(x1-x2)=[(2x1^3-6x1+1)-(2x1^3+6x1+1)]/2x1=2x1^2-6
直线LAB方程为y=(2x1^2-6)(x-x1)+f(x1)
=(2x1^2-6)(x-x1)+(2x1^3-6x1+1)
=(2x1^2-6)x+1
即y=(2x1^2-6)(x-0)+1
所以直线LAB过定点（0,1）