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如图,已知抛物线y=x2+bx-3a过点A(1,0),B(0,-3),与x轴交于另一点C(1)求抛物线的解析式;(2)若在第三象限的抛物线上存在点P,使△PBC为以点B为直角顶点的直角三角形,求点P的坐标;(3)在(
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如图,已知抛物线y=x2+bx-3a过点A(1,0),B(0,-3),与x轴交于另一点C
(1)求抛物线的解析式;
(2)若在第三象限的抛物线上存在点P,使△PBC为以点B为直角顶点的直角三角形,求点P的坐标;
(3)在(2)的条件下,在抛物线上是否存在一点Q,使以P,Q,B,C为顶点的四边形为直角梯形?若存在,请求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若在第三象限的抛物线上存在点P,使△PBC为以点B为直角顶点的直角三角形,求点P的坐标;
(3)在(2)的条件下,在抛物线上是否存在一点Q,使以P,Q,B,C为顶点的四边形为直角梯形?若存在,请求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
▼优质解答
答案和解析
(1)把 x = 1 y = 0 代入 y=x2+bx-3a 得:1 + b -- 3a = 0
把 x = 0 y = -- 3 代入 y=x2+bx-3a 得:-- 3a = -- 3
∴ b = 3a -- 1 = 3 -- 1 = 2
∴抛物线的解析式为:y = x2 + 2x -- 3
( 把--3a看作 整体,不必专门求a值)
(2)把抛物线的解析式变为:y = (x -- 1)(x + 3)
令(x -- 1)(x + 3)= 0 得抛物线与x轴的另一交点C坐标为:(--3 ,0)
把把抛物线的解析式变为:y =(x + 1)2 -- 4
知 抛物线de对称轴为 x = -- 1,最小值为 -- 4,顶点坐标为:N (--1,-- 4).
∵ C坐标为(--3,0)、B坐标为( 0,--3)
∴ △OBC是等腰直角三角形,且斜边BC=3√2,则BC的平方= 18.
∵ N坐标为(--1,-- 4)、B坐标为( 0,--3),作NH ⊥ y轴于H,
则 △BNH 是等腰直角三角形,且斜边BN=√2,则BN的平方= 2.
设 对称轴 x = -- 1 与 x轴交于点M,则MC=2,MN=4.
在Rt△MCN 中,NC的平方 = MC的平方 + MN的平方
∴ NC 的平方 = 20
又 ∵ BC的平方 + BN的平方 = 18 + 2 = 20
∴ BC的平方 + BN的平方 = NC 的平方
∴ △BCN 是Rt△,且是以点B为直角顶点的直角三角形.
∴满足题意的 点P的位置应在点N处,此时点P的坐标为(-- 1,-- 4)..
(3)在(2)的条件下,在抛物线上存在一点Q,使以P,Q,B,C为顶点的四边形为直角梯形,满足题意的点Q坐标为(-- 2,-- 3).
我们知道,两直线 y1 = k1 x + b1 与 y2 = k2 x + b2 平行的时候,k1 = k2.
∵C坐标为(--3,0)、B坐标为( 0,--3)
∴ 易求得 直线BC的解析式为:y = -- x -- 3.
过P(-- 1,-- 4)作 直线BC的平行线并设其解析式为y = -- x + b
求直线BC 与 抛物线 的交点,
需联立方程组y = -- x + b
y = x2 + 2x -- 3
解得:x = -- 2 ,y = -- 3 (另一组解x= --1,y= -- 4 表示P点坐标)
∴满足题意的点Q坐标为(-- 2,-- 3).
注:第三问,题目让求作“直角梯形”,注意从∠CBP = 90° 进行突围!
第三问,满足题意的点Q 只有以上一种情形.
把 x = 0 y = -- 3 代入 y=x2+bx-3a 得:-- 3a = -- 3
∴ b = 3a -- 1 = 3 -- 1 = 2
∴抛物线的解析式为:y = x2 + 2x -- 3
( 把--3a看作 整体,不必专门求a值)
(2)把抛物线的解析式变为:y = (x -- 1)(x + 3)
令(x -- 1)(x + 3)= 0 得抛物线与x轴的另一交点C坐标为:(--3 ,0)
把把抛物线的解析式变为:y =(x + 1)2 -- 4
知 抛物线de对称轴为 x = -- 1,最小值为 -- 4,顶点坐标为:N (--1,-- 4).
∵ C坐标为(--3,0)、B坐标为( 0,--3)
∴ △OBC是等腰直角三角形,且斜边BC=3√2,则BC的平方= 18.
∵ N坐标为(--1,-- 4)、B坐标为( 0,--3),作NH ⊥ y轴于H,
则 △BNH 是等腰直角三角形,且斜边BN=√2,则BN的平方= 2.
设 对称轴 x = -- 1 与 x轴交于点M,则MC=2,MN=4.
在Rt△MCN 中,NC的平方 = MC的平方 + MN的平方
∴ NC 的平方 = 20
又 ∵ BC的平方 + BN的平方 = 18 + 2 = 20
∴ BC的平方 + BN的平方 = NC 的平方
∴ △BCN 是Rt△,且是以点B为直角顶点的直角三角形.
∴满足题意的 点P的位置应在点N处,此时点P的坐标为(-- 1,-- 4)..
(3)在(2)的条件下,在抛物线上存在一点Q,使以P,Q,B,C为顶点的四边形为直角梯形,满足题意的点Q坐标为(-- 2,-- 3).
我们知道,两直线 y1 = k1 x + b1 与 y2 = k2 x + b2 平行的时候,k1 = k2.
∵C坐标为(--3,0)、B坐标为( 0,--3)
∴ 易求得 直线BC的解析式为:y = -- x -- 3.
过P(-- 1,-- 4)作 直线BC的平行线并设其解析式为y = -- x + b
求直线BC 与 抛物线 的交点,
需联立方程组y = -- x + b
y = x2 + 2x -- 3
解得:x = -- 2 ,y = -- 3 (另一组解x= --1,y= -- 4 表示P点坐标)
∴满足题意的点Q坐标为(-- 2,-- 3).
注:第三问,题目让求作“直角梯形”,注意从∠CBP = 90° 进行突围!
第三问,满足题意的点Q 只有以上一种情形.
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