如图,已知抛物线y=x2+bx-3a过点A（1,0）,B(0,-3),与x轴交于另一点C（1）求抛物线的解析式；（2）若在第三象限的抛物线上存在点P,使△PBC为以点B为直角顶点的直角三角形,求点P的坐标；（3）在（

Question

如图,已知抛物线y=x2+bx-3a过点A（1,0）,B(0,-3),与x轴交于另一点C
（1）求抛物线的解析式；
（2）若在第三象限的抛物线上存在点P,使△PBC为以点B为直角顶点的直角三角形,求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下,在抛物线上是否存在一点Q,使以P,Q,B,C为顶点的四边形为直角梯形?若存在,请求出点Q的坐标；若不存在,请说明理由.

Answer 1

（1）把 x = 1 y = 0 代入 y=x2+bx-3a 得：1 + b -- 3a = 0
把 x = 0 y = -- 3 代入 y=x2+bx-3a 得：-- 3a = -- 3
∴ b = 3a -- 1 = 3 -- 1 = 2
∴抛物线的解析式为：y = x2 + 2x -- 3
( 把--3a看作 整体,不必专门求a值)
（2）把抛物线的解析式变为：y = （x -- 1）（x + 3）
令（x -- 1）（x + 3）= 0 得抛物线与x轴的另一交点C坐标为：（--3 ,0）
把把抛物线的解析式变为：y =（x + 1）2 -- 4
知 抛物线de对称轴为 x = -- 1,最小值为 -- 4,顶点坐标为：N （--1,-- 4）.
∵ C坐标为（--3,0）、B坐标为（ 0,--3）
∴ △OBC是等腰直角三角形,且斜边BC=3√2,则BC的平方= 18.
∵ N坐标为（--1,-- 4）、B坐标为（ 0,--3）,作NH ⊥ y轴于H,
则 △BNH 是等腰直角三角形,且斜边BN=√2,则BN的平方= 2.
设 对称轴 x = -- 1 与 x轴交于点M,则MC=2,MN=4.
在Rt△MCN 中,NC的平方 = MC的平方 + MN的平方
∴ NC 的平方 = 20
又 ∵ BC的平方 + BN的平方 = 18 + 2 = 20
∴ BC的平方 + BN的平方 = NC 的平方
∴ △BCN 是Rt△,且是以点B为直角顶点的直角三角形.
∴满足题意的 点P的位置应在点N处,此时点P的坐标为（-- 1,-- 4）..
（3）在（2）的条件下,在抛物线上存在一点Q,使以P,Q,B,C为顶点的四边形为直角梯形,满足题意的点Q坐标为（-- 2,-- 3）.
我们知道,两直线 y1 = k1 x + b1 与 y2 = k2 x + b2 平行的时候,k1 = k2.
∵C坐标为（--3,0）、B坐标为（ 0,--3）
∴ 易求得 直线BC的解析式为：y = -- x -- 3.
过P（-- 1,-- 4）作 直线BC的平行线并设其解析式为y = -- x + b
求直线BC 与 抛物线 的交点,
需联立方程组y = -- x + b
y = x2 + 2x -- 3
解得：x = -- 2 ,y = -- 3 （另一组解x= --1,y= -- 4 表示P点坐标）
∴满足题意的点Q坐标为（-- 2,-- 3）.
注：第三问,题目让求作“直角梯形”,注意从∠CBP = 90° 进行突围!
第三问,满足题意的点Q 只有以上一种情形.