n趋向于无穷大时,a^n/n!极限为0的具体求法

Question

n趋向于无穷大时,a^n/n!极限为0的具体求法

Answer 1

也就是要证明,对于任意ε>0,存在N>0,当n>N时,a^n/n!因为a是个有限的实数,不妨设m<=a那么显然,当n>2m时,a^(2m)/(2m)!是个有限数,设其有上界M.而当n>2m时,a/n<1/2.
于是,a^n/n!=[a^(2m)/(2m!)]*[a^(n-2m)/((2m+1)...n)]
<=M*(1/2)^(n-2m).
现在估计M.
由于m所以,可取M=a^(2[a])/(2[a])!.
因此,当N>2[a]+lg(M/ε)/lg(2)时,
a^n/n!
因此a^n/n!的极限为0.