已知Φ⊂M⊆｛1,2,3,4,5,6,7,8,9｝,若a∈M,且10-a∈M,则集合M的个数是多少?⊂是真包含于的意思,我找出了29个,但是答案上却说是31个,只给了算法,如果回答请把所有结果都写上来.

Question

已知Φ⊂M⊆｛1,2,3,4,5,6,7,8,9｝,若a∈M,且10-a∈M,则集合M的个数是多少?
⊂是真包含于的意思,我找出了29个,但是答案上却说是31个,只给了算法,如果回答请把所有结果都写上来.

Answer 1

根据a∈M,且10-a∈M,我们可以知道,1和9,2和8,3和7,4和6是成对出现的,另外单独的5也可以出现,下面我们根据M中个数的多少来分类讨论：
1）M中有1个元素
那么肯定这样的元素是5,所以满足条件的个数A1=1；
2）M中有2个元素
那么肯定是在开头我们讨论的4对中选择一对,这样个数A2=4；
3）M中有3个元素
那么肯定是在开头4对中选择一对,另外加上一个5,所以这样个数A3=4
4) M中有4个元素
那么肯定是在开头4对中选择两对,A4=C(4,2)=6;
5)M中有5个元素
那么肯定是选择两对后在加上一个5,A5=C(4,2)=6
6)M中有6个元素
那么肯定是在四对中选择3对,A6=C(4,3)=4
7)M中有7个元素
那么肯定是在四队中选择3对,另外加上5,A7=4
8)M中有8个元素
那么肯定是上面的四队全选,A8=1
9)M中有9个元素
那么肯定是上面全选加上5,A9=1
总共上面加起来是31