已知f(x)是定义在R上不恒为零的函数,且对于任意的a,b∈R都满足f(ab)=af(b)+bf(a).判断f(x)的奇偶性求详解

Question

已知f(x)是定义在R上不恒为零的函数,且对于任意的a,b∈R都满足f(ab)=af(b)+bf(a).判断f(x)的奇偶性
求详解

Answer 1

令a=1,b=1,代入f(a*b)=af(b)+bf(a),
f(1)=2f(1),f(1)=0
再b=0,代入f(a*b)=af(b)+bf(a),f(0)=af(0),f(0)=0
再a=-1,b=-1,代入f(a*b)=af(b)+bf(a),f(-1)=0
再a=-1,代入f(a*b)=af(b)+bf(a),f(-b)=-f(b),是奇函数