已知函数f（x）=cos2x-sin2x+2sinxcosx．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）当x∈[−π4，π4]时，求函数f（x）的最大值，并写出x相应的取值．

Question

已知函数f（x）=cos²x-sin²x+2sinxcosx．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）当x∈[−(π)/(4)，(π)/(4)]时，求函数f（x）的最大值，并写出x相应的取值．

Answer 1

（Ⅰ）f（x）=cos²x-sin²x+2sinxcosx
=cos2x+sin2x
=√(2)sin(2x+(π)/(4))
所以函数f（x）的最小正周期T＝(2π)/(2)＝π．
（Ⅱ）∵−(π)/(4)≤x≤(π)/(4)，∴−(π)/(4)≤2x+(π)/(4)≤(3π)/(4)，
∴−1≤√(2)sin(2x+(π)/(4))≤√(2)，
∴当2x+(π)/(4)＝(π)/(2)，即x＝(π)/(8)时，f（x）有最大值√(2)．