袋中装有35个球，每个球上都标有1到35的一个号码，设号码为n的球重n22−5n+15克，这些球等可能地从袋中被取出．（1）如果任取1球，试求其重量大于号码数的概率；（2）如果不放回任意取

Question

袋中装有35个球，每个球上都标有1到35的一个号码，设号码为n的球重(n2)/(2)−5n+15克，这些球等可能地从袋中被取出．
（1）如果任取1球，试求其重量大于号码数的概率；
（2）如果不放回任意取出2球，试求它们重量相等的概率；
（3）如果取出一球，当它的重量大于号码数，则放回，搅拌均匀后重取；当它的重量小于号码数时，则停止取球．按照以上规则，最多取球3次，设停止之前取球次数为ξ，求Eξ．

Answer 1

（1）由(n2)/(2)−5n+15＞n，可得n²-12n+30＞0，…（1分）
∴n＞6+√(6)或n＜6-√(6)，
由于n∈N^*，所以n可取1，2，3，9，10，11，12，13，…，35共30个数，…（3分）
故P1＝(30)/(35)＝(6)/(7)，…（4分）
（2）因为是不放回任意取出2球，故这是编号不相同的两个球，设它们的编号分别为n₁和n₂，
由(n21)/(2)−5n1+15＝(n22)/(2)−5n2+15，得(n21−n22)/(2)＝5(n1−n2)，…（5分）
因为n₁≠n₂，所以n₁+n₂=10，从而满足条件的球有（1，9），（2，8），（3，7），（4，6）…（7分）
故概率为P2＝(4)/(595)…（8分）
（3）ξ的可能取值为1，2，3，则P(ξ＝1)＝(1)/(7)，P（ξ=2）=(6)/(7)×(1)/(7)＝(6)/(49)；P（ξ=3）=(6)/(7)×(6)/(7)＝(36)/(49)；
∴Eξ=1×(1)/(7)+2×(6)/(49)+3×(36)/(49)＝(127)/(49)．…（12分）