一个球内切于一个圆锥,且圆锥的高等于球的直径的两倍,证明：圆锥的全面积等于球表面积的两倍

Question

一个球内切于一个圆锥,且圆锥的高等于球的直径的两倍,证明：圆锥的全面积等于球表面积的两倍

Answer 1

设球O的半径为R,圆锥的轴截面ABC,A为顶点,圆O为球O在面ABC的截面,圆O内切于三角形ABC于D,E,F；D在AB上,E在BC上,F在AC上,连接AE
因为 圆锥的轴截面ABC是等腰三角形,AB=AC,圆O内切于三角形ABC边BC于E
所以 BE=CE,AE垂直BC,AE过点O
因为 圆锥的高等于球O的直径的两倍
所以 圆锥的高=4R
因为 AE垂直BC
所以 AE=4R
因为 OE=R
所以 OA=3R
因为 OD垂直AB,OD=R
所以 AD=2√2R
所以 cos角BAE=AD/OA=2√2/3
因为 AE=4R,cos角BAE=AE/AB
所以 AB=3√2R,BE=√2R
因为 圆锥的全面积=πBE^2＋πBE*AB
所以 圆锥的全面积=8πR^2
因为 球的表面积=4πR^2
所以 圆锥的全面积=2球的表面积
所以 圆锥的全面积等于球表面积的两倍