已知椭圆C中心在原点，焦点在x轴上，焦距为2，短轴长为23．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若直线l：y=kx+m（k≠0）与椭圆交于不同的两点M、N（M、N不是椭圆的左、右顶点），且以MN为直

Question

已知椭圆C中心在原点，焦点在x轴上，焦距为2，短轴长为2√(3)．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）若直线l：y=kx+m（k≠0）与椭圆交于不同的两点M、N（M、N不是椭圆的左、右顶点），且以MN为直径的圆经过椭圆的右顶点A．求证：直线l过定点，并求出定点的坐标．

Answer 1

（Ⅰ）设椭圆的长半轴为a，短半轴长为b，半焦距为c，则

2c＝2

2b＝2√(3)

a2＝b2+c2

解得

a＝2

b＝√(3)

∴椭圆C的标准方程为(x2)/(4)+(y2)/(3)＝1．（4分）
（Ⅱ）由方程组√(作业帮用户2017-10-05举报问题解析（Ⅰ）直接利用2c＝22b＝2√(3)a2＝b2+c2解出a＝2b＝√(3)即可得椭圆C的标准方程；（Ⅱ）先把直线方程与椭圆方程联立，求出关于点M、N坐标之间的等式，再代入AM⊥AN对应的等式即可求出m和k之间的关系，进而证得直线l过定点，并求出定点的坐标．名师点评本题考点：直线与圆锥曲线的综合问题．考点点评：本题主要考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系以及直线过定点等基础知识，考查推理论证能力，运算求解能力及创新意识，考查化归与转化思想，特殊与一般思想．扫描下载二维码©2020 作业帮 联系方式：[e-mail]作业帮协议)