某政府准备建造一个椭圆游泳池（a＞b），椭圆的一个焦点到椭圆上的点的最大距离是最小距离的4倍．（1）求此游泳池所在椭圆的离心率；（2）已知椭圆的焦距为120米，在椭圆的长轴上的M1

Question

某政府准备建造一个椭圆游泳池（a＞b），椭圆的一个焦点到椭圆上的点的最大距离是最小距离的4倍．
（1）求此游泳池所在椭圆的离心率；
（2）已知椭圆的焦距为120米，在椭圆的长轴上的M₁、M₂处设计两个喷水头，使分出的水花形成有相等半径的圆M₁，圆M₂，且圆M₁与圆M₂外切，同时喷出的水不能落到椭圆形游泳池之外，试求两圆的最大半径．

Answer 1

（1）最大距离为a+c，最小距离为a-c
∴a+c=4（a-c），
∴3a=5c，
∴e=(3)/(5)
（2）由题知：c=12百米∴a=20百米  b=16百米
∴椭圆方程为(x2)/(400)+(y2)/(256)=1
以⊙M₁与⊙M₂切点为原点，以M₁、M₂所在直线为X轴建立平面直角坐标系
设⊙M₂方程为（x-r）²+y²=r²
联立得

(x−r)2+y2＝r2

(x2)/(400)+(y2)/(256)＝1

，
∴9x²-100xr+6400=0
∵⊙M₂内切与椭圆内 
∴△=（-100r）²-4×9×6400=0，
∴r=4.8百米
∴点M₁在长轴中点左4.8百米处，点M2在长轴中点右4.8百米处，且⊙M₁、⊙M₂半径均为4.8百米