某地发生某种自然灾害，使当地的自来水受到了污染．某部门对水质检测后，决定往水中投放一种药剂来净化水质．已知每投放质量为m个单位的药剂后，经过x天该药剂在水中释放的浓度y（

Question

某地发生某种自然灾害，使当地的自来水受到了污染．某部门对水质检测后，决定往水中投放一种药剂来净化水质．已知每投放质量为m个单位的药剂后，经过x天该药剂在水中释放的浓度y（毫克/升）满足y=mf（x），其中f（x）=

log2(x+4)，0＜x≤4

(6)/(x?2) ，x＞4

，当药剂在水中释放的浓度不低于6（毫克/升）时称为有效净化；当药剂在水中释放的浓度不低于6（毫克/升）且不高于18（毫克/升）时称为最佳净化．
（1）如果投放的药剂质量为m=4，试问自来水达到有效净化一共可持续几天？
（2）如果投放的药剂质量为m，为了使在7天（从投放药剂算起包括第7天）之内的自来水达到最佳净化，试确定应该投放的药剂质量m的取值范围．

Answer 1

（1）由题设：投放的药剂质量为m=4，自来水达到有效净化等价于4f（x）≥6…（2分）
∴f（x）≥(3)/(2)，
∴

0＜x≤4

log2(x+4)≥(3)/(2)

或

x＞4

(6)/(x?2)≥(3)/(2)

    …（4分）
∴0＜x≤6，
亦即：如果投放的药剂质量为m=4，自来水达到有效净化一共可持续6天；             …（8分）
（2）由题设：?x∈（0，7]，6≤mf（x）≤18，m＞0，…（10分）
∵f（x）=

log2(x+4)，0＜x≤4

(6)/(x?2) ，x＞4

，
∴?x∈（0，4]，6≤mlog₂（x+4）≤18，且?x∈（4，7]，6≤(6m)/(x?2)≤18，…（12分）
∴

2m≥6

3m≤18

且

(6)/(5)m≥6

3m≤18

，…（14分）
∴5≤m≤6，
亦即：投放的药剂质量m的取值范围为[5，6]．…（16分）